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定义在(0,+∞)上的函数f (x),对于任意的m,n∈(0,+∞),都有f(m•n)=f(m)+f(n)成立,当x>1时,f(x)<0.(Ⅰ)计算f(1);(Ⅱ)证明f (x)在(0,+∞)上是减函数;(Ⅲ)当f(2)=-时,解不等式f(x2-3x)>-1.
正确答案(Ⅰ)∵定义在(0,+∞)上的函数f (x)对于任意的m,n∈(0,+∞),满足f(m•n)=f(m)+f(n),
∴f(1)=f(1×1)=f(1)+f(1).∴f(1)=0
证明:(II)设0<x1<x2,∵f(m•n)=f(m)+f(n)即f(m•n)-f(m)=f(n)
∴f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1)=f()+f(x1)-f(x1)=f().
因为0<x1<x2,则>1,而当x>1时,f(x)<0,从而f(x2)<f(x1)
于是f(x)在(0,+∞)上是减函数.
(Ⅲ)因为f(4)=f(2)+f(2)=-1,所以f(x2-3x)>f(4),
因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以0<x2-3x<4,
解得-1<x<0或3<x<4,
故所求不等式的解集为{x|-1<x<0或3<x<4}.
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